Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），F為其焦點，l為其準線，過F任作一條直線交拋物線于A、B兩點，A'、B'分別為A、B在l上的射影，M為A'B'的中點，給出下列命題：
①A'F⊥B'F；
②AM⊥BM；
③A'F∥BM；
④A'F與AM的交點在y軸上；
⑤AB'與A'B交于原點．
其中真命題的個數為（ ）
A．2個
B．3個
C．4個
D．5個

Answer 1

【答案】分析：①由于A，B在拋物線上，根據拋物線的定義可知A'F=AF，B'F=BF，從而由相等的角，由此可判斷A'F⊥B'F；
②取AB中點C，利用中位線即拋物線的定義可得CM=，從而AM⊥BM；
③由②知，AM平分∠A′AF，從而可得A′F⊥AM，根據AM⊥BM，利用垂直于同一直線的兩條直線平行，可得結論；
④取AB⊥x軸，則四邊形AFMA'為矩形，則可得結論；
⑤取AB⊥x軸，則四邊形ABB'A'為矩形，則可得結論．
解答：解：①由于A，B在拋物線上，根據拋物線的定義可知A'F=AF，B'F=BF，因為A′、B′分別為A、B在l上的射影，所以A'F⊥B'F；
②取AB中點C，則CM=，∴AM⊥BM；
③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A'F∥BM；
④取AB⊥x軸，則四邊形AFMA′為矩形，則可知A'F與AM的交點在y軸上；
⑤取AB⊥x軸，則四邊形ABB'A'為矩形，則可知AB'與A'B交于原點
故選D．
點評：本題以拋物線為載體，考查拋物線的性質，解題的關鍵是合理運用拋物線的定義．