Question

已知正項數列{a_n}中，a₁=1，點(

an

，an+1)，(n∈N*)在函數y=x²+1的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）已知bn=(

1

2

)n-1，n∈N*，令Cn=

-1

an+1log2bn+1

，求{C_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據點(

an

，an+1)，(n∈N*)在函數y=x²+1的圖象上，得到數列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）先表示出{C_n}的通項，再利用裂項法求和，即可得到{C_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵點(

an

，an+1)，(n∈N*)在函數y=x²+1的圖象上．
∴a_n+1=a_n+1
∴a_n+1-a_n=1
∵a₁=1，
∴數列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數列
∴a_n=n；
（2）∵a_n=n，bn=(

1

2

)n-1，n∈N*，
∴Cn=

-1

an+1log2bn+1

=

-1

(n+1)log2( 1 2 )n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴{C_n}的前n項和T_n=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

點評：本題以函數為載體，考查等差數列的通項，考查裂項法求數列的和，解題的關鍵是掌握等差數列的定義，正確運用數列的求和方法．