Question

【題目】(本小題共l4分)

已知函數f(x)=x +, h(x)=．

(I)設函數F(x)=f(x)一h(x)，求F(x)的單調區間與極值；

(Ⅱ)設a∈R，解關于x的方程log4[]=1og2h(a-x)一log2h (4-x)；

(Ⅲ)試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）先求導函數，利用導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．即可求的單調區間與極值；

（Ⅱ）先把原等式轉化為關于和之間的等量關系，最后利用圖象來求的值（注意對的討論）．

（Ⅲ）把轉化為一新數列的前100項和，再比較新數列的每一項和對應之間的大小關系，即可比較與的大小．

解：（Ⅰ）由知，

，令，得．

當時，；

當，時，．

故時，是減函數；

故，時，是增函數．

在處有極小值且．

（Ⅱ）原方程可化為，

即，

①當時，原方程有一解；

②當時，原方程有兩解；

③當時，原方程有一解；

④當或時，原方程無解．

（Ⅲ）設數列的前項和為，且

從而有．

當時，

，

．

即對任意的，都有．

又因為，

所以（1）（2）．

故．