Question

如圖所示，橢圓過點，點F、A分別為橢圓的右焦點和右頂點且有．
（1）求橢圓的方程．
（2）若動點P（x，y），符合條件：，當y≠0時，求證：動點P（x，y）一定在橢圓內部．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據題意確定b=，再由可以得到a=c，最后根據橢圓的基本性質a²=b²+c²可以求出a，b，c的值，從而確定橢圓方程．
（2）先求出點F，M，A的坐標，根據P滿足條件可得到p軌跡方程，然后與橢圓方程聯立發現僅有一個公共點A（3，0），又因為當y≠0時考慮，故要舍棄，從而得證．
解答：解：（1）依題意得：b=
∵，
∴2（a-c）=c，
∴a=c
∵a²=b²+c²，∴c=2
∴a=3，c=2，b=，
故橢圓的方程．

（2）由動點P（x，y）符合條件，F（2，0）、M（1，0）、A（3，0）
得P（x，y）的軌跡方程：（x-2）²+y²=1，是以F（2，0）為圓心，1為半徑的圓．
聯立橢圓的方程得：公共點僅為A（3，0）
又y≠0所以A（3，0）舍去，從而該圓始終在橢圓內部．
故動點P（x，y）一定在橢圓內部．
點評：本題主要考查橢圓的基本性質和動點的軌跡方程．橢圓在圓錐曲線中占據重要的位置，在高考中所占的比重特別大，一定要強化復習．