Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，C是⊙O上一點，CO⊥AB于點O，弦CD與AB交于點F，過點D作∠CDE＝∠DFE，DE交AB的延長線于點E，過點A作⊙O的切線交ED的延長線于點G．

(1)求證：GE是⊙O的切線；

(2)若tanC＝，BE＝4，求AG的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)AG＝12．

【解析】

（1）連接，如圖，先證明，再證明，然后利用得到，則，然后根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）設，則，則可表示出，再利用得到，然后在中，根據勾股定理得到，再解方程求出即可得到結論.

(1)證明：連接OD，如圖，

∵∠1＝∠2，

而∠2＝∠3，

∴∠3＝∠1，

∵OC⊥AB，

∴∠3+∠C＝90°，

∴∠1+∠C＝90°，

而OC＝OD，

∴∠C＝∠4，

∴∠1+∠4＝90°，即∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，

∴GE是⊙O的切線；

(2)解：設OF＝x，則OC＝3x，

∴BF＝2x，

∵∠1＝∠2，

∴ED＝EF＝2x+4，

在Rt△ODE中，

∵OD2+DE2＝OE2，

∴(3x)2+(2x+4)2＝(4+3x)2，解得x＝2，

∴OD＝6，DE＝8，OE＝10

又∵△AGE∽△DOE，

AE＝16，

可得AG＝12．