Question

一個多面體的直觀圖，正（主）視圖，側（左）視圖如下所示，其中正（主）視圖、側（左）視圖為邊長為a的正方形．
（1）請在指定的框內畫出多面體的俯視圖；
（2）若多面體底面對角線AC，BD交于點O，E為線段AA₁的中點，求證：OE∥平面A₁C₁C；
（3）求該多面體的表面積．

Answer 1

分析：（1）根據多面體的直觀圖、正（主）視圖、側（左）視圖，得到俯視圖．
（2）連接AC，BD交于O點，因為E為AA₁的中點，可得OE為△AA₁C的中位線，OE∥A₁C，從而證得OE∥平面A₁C₁C．
（3）由三示圖可知多面體表面共包括10個面，S_ABCD=a²，SA1B1C1D1=

a2

2

，再求出S△A1AB，S△AA1D1的值，由表面積 S =  SABCD+SA1B1C1D1+ 4S△A1AB+4S△AA1D1，運算求出結果．

解答：解：（1）根據多面體的直觀圖、正（主）視圖、側（左）視圖，得到俯視圖如下：
（2）證明：如圖，連接AC，BD交于O點，因為E為AA₁的中點，O為AC的中點，所以在△AA₁C中，OE為△AA₁C的中位線，
所以OE∥A₁C，∵OE?平面A₁C₁C，A₁C₁?平面A₁C₁C，
所以OE∥平面A₁C₁C．
（3）由三示圖可知多面體表面共包括10個面，S_ABCD=a²，SA1B1C1D1=

a2

2

，S△A1AB=S△B1BC=S△C1DC=S△D1AD=

a2

2

，S△AA1D1=S△BB1A1=S△CB1C1=S△DC1D1=

1

2

×

2 a

2

×

3 2 a

4

=

3a2

8

，
所以表面積S=a2+

a2

2

+4×

a2

2

+4×

3a2

8

=5a2．

點評：本題考查幾何體的三視圖，證明直線和平面平行的方法，求幾何體的表面積，體現了數形結合的數學思想，是一道中檔題