Question

（1）在長度為a的線段AB上任意作一點C，求|CB|≤|CA|的概率；
（2）若將長度為a的線段截成三段，則三段長能圍成一個三角形的概率有多大．

Answer 1

分析：（1）設AB長度為1，根據題意，做出圖形，取AB的中點P，分析易得當C在PB之間時，|CB|≤|CA|成立；由幾何概型轉化為求線段PB與AB的長度之比，進而計算可得答案；
（2）設三截得的三段長分別為x，y，a-x-y，根據題意，可得可得

0＜x＜a 0＜y＜a x+y＜a

，由三角形的三邊關系，可得滿足

x+y＞a-x-y x+a-x-y＞y y+1-x-y＞x

，即

x+y＞ a 2 y＜ a 2 x＜ a 2

，求出兩個區域的面積，由幾何概型知識可以轉化為兩個區域的面積之比，代入數據可得答案．

解答：解：（1）根據題意，設AB長度為1，如圖，取AB的中點P，分析易得當C在PB之間時，|CB|≤|CA|成立；
則其概率為

1 2

1

=

1

2

；
故|CB|≤|CA|的概率為

1

2

；
（2）設三截得的三段長分別為x，y，a-x-y，
可得

0＜x＜a 0＜y＜a x+y＜a

，其面積為

a2

2

，
能構成三角形時，需要滿足

x+y＞a-x-y x+a-x-y＞y y+1-x-y＞x

，即

x+y＞ a 2 y＜ a 2 x＜ a 2

，如圖
易得其面積為

1

8

，
則所求概率為 P=

1 8

1 2

=

1

4

．
故三段可以構成三角形的概率為

1

4

．

點評：本題主要考查幾何概型的應用，如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．