Question

如圖， 已知橢圓的長軸為，過點的直線與軸垂直．直線所經過的定點恰好是橢圓的一個頂點,且橢圓的離心率.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設是橢圓上異于、的任意一點，軸，為垂足，延長到點使得，連結延長交直線于點，為的中點．試判斷直線與以為直徑的圓的位置關系．

Answer 1

解：（1）將整理得

       解方程組得直線所經過的定點（0，1），所以．

      由離心率得．

所以橢圓的標準方程為．------------------------------------------6分

（2）設，則．

∵，∴．∴

∴點在以為圓心，2為半徑的的圓上．即點在以為直徑的圓上．

又，∴直線的方程為．

令，得．又，為的中點，∴．

∴，．

∴

．

∴．∴直線與圓相切．--------------------------------------------------------14分