Question

已知數列．
（I）求證：數列是等比數列；
（II）若，且數列{b_n}是單調遞增數列，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

（I）證明：∵，∴=1+
∴=2
∵a₁=1，∴
∴數列是等比數列；
（II）解：由（I）知，∴，
∴
∴，b₁=-λ適合
∵數列{b_n}是單調遞增數列，
∴b_n+1＞b_n得2ⁿ（n-λ）＞2^n-1（n-1-λ），∴λ＜n+1，
∴λ＜2．
分析：（I）根據，化簡可得=2，從而可得數列是等比數列；
（II）由（I）知，從而，由此可得數列{b_n}的通項，利用數列{b_n}是單調遞增數列，即可求得實數λ的取值范圍．
點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查數列的通項，考查數列的單調性，綜合性強．