Question

17．已知點P（x，y）在圓x²+y²=1上運動，則$\frac{y}{x+2}$的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 設$\frac{y}{x+2}$=k，則kx-y+2k=0，根據圓心（0，0）到直線kx-y+2k=0的距離小于等于1，利用距離公式求出k的最大值．

解答 解：設$\frac{y}{x+2}$=k，則kx-y+2k=0．
∵點P（x，y）在圓x²+y²=1上運動，
∴圓心（0，0）到直線kx-y+2k=0的距離小于等于1，
∴$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{y}{x+2}$的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，本題解題的關鍵是利用數形結合的思想來解出斜率的值，本題是一個中檔題目．