Question

函數f（x）=ax³+bx（a≠0）圖象在點（1，f（1））處的切線與直線6x+y+7=0平行，導函數f′（x）的最小值為-12．
（1）求a、b的值；
（2）討論方程f（x）=m解的情況（相同根算一根）．

Answer 1

分析：（1）利用f′（x）=3ax²+b的最小值為-12，可知b=-12，且a＞0，根據直線6x+y+7=0的斜率為-6，可得f'（1）=3a+b=-6，所以a=2；
（2）由（1）知f（x）=2x³-12x，f′(x)=6x2-12=6(x+

2

)(x-

2

)，從而可求函數f（x）的單調增區間是（-∞，-

2

）和(

2

，+∞)，進而可知f（x）在x=-

2

時取得極大值為f(-

2

)=8

2

，f（x）在x=

2

時取得極小值為f(

2

)=-8

2

，由此可確定方程解的情況．

解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+b的最小值為-12
∴b=-12，且a＞0
又直線6x+y+7=0的斜率為-6
∵函數f（x）=ax³+bx（a≠0）圖象在點（1，f（1））處的切線與直線6x+y+7=0平行
∴f'（1）=3a+b=-6
∴a=2
∴a=2，b=-12
（2）由（1）知f（x）=2x³-12x，f′(x)=6x2-12=6(x+

2

)(x-

2

)，列表如下：

x	（-∞，- 2 ）	- 2	(- 2 ， 2 )	2	( 2 ，+∞)
f′	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，函數f（x）的單調增區間是（-∞，-

2

）和(

2

，+∞)
∴f（x）在x=-

2

時取得極大值為f(-

2

)=8

2

，f（x）在x=

2

時取得極小值為f(

2

)=-8

2

∴當m＞8

2

或m＜-8

2

時，方程有一根；
當m=8

2

或m=-8

2

時，方程有兩個根；
當-8

2

＜m＜8

2

時，方程有三個根

點評：本題以導函數為載體，考查導數知識的應用，考查方程解的討論，解題的關鍵是確定函數的極值，從而確定方程解的情況．