Question

已知函數f（x）=ax²+2x+c（a、c∈N^*）滿足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求a、c的值；
（2）若對任意的實數x∈[，]，都有f（x）-2mx≤1成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把條件①f（1）=5；②6＜f（2）＜11代入到f（x）中求出a和c即可；
（2）不等式f（x）-2mx≤1恒成立?2（1-m）≤-（x+）在[，]上恒成立，只需要求出[-（x+）]_min=-，然后2（1-m）≤-求出m的范圍即可．
解答：解：（1）∵f（1）=a+2+c=5，
∴c=3-a．①
又∵6＜f（2）＜11，即6＜4a+c+4＜11，②
將①式代入②式，得-＜a＜，又∵a、c∈N^*，∴a=1，c=2．
（2）由（1）知f（x）=x²+2x+2．
證明：∵x∈[，]，∴不等式f（x）-2mx≤1恒成立?2（1-m）≤-（x+）在[，]上恒成立．
易知[-（x+）]_min=-，
故只需2（1-m）≤-即可．
解得m≥．
點評：考查學生利用待定系數法求函數解析式的能力，理解函數最值及幾何意義的能力，理解不等式恒成立的能力．