Question

如圖，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC=2
（1）求證：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求二面角P-BC-A的大小；
（3）求三棱錐P-AEF的體積．

Answer 1

分析：（1）由線面垂直的定義，根據PA⊥平面ABC得PA⊥BC，結合AB⊥BC得BC⊥平面PAB，從而得出AE⊥BC，結合AE⊥PB證出AE⊥平面PBC，最后根據面面垂直判定定理，即可證出平面AEF⊥平面PBC；
（2）由（1）的結論得BC⊥AB且BC⊥PB，所以∠PBA是二面角P-BC-A的平面角，Rt△PAB中算出∠PBA=45°，即可得到二面角P-BC-A的大小；
（3）由PA⊥平面ABC，得PA是三棱錐P-AEF的高，算出△ABC的面積再利用錐體的體積公式加以計算，即可得到三棱錐P-AEF的體積．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵AE?平面PAB，∴AE⊥BC，
∵AE⊥PB，PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC，
∵AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC；
（2）∵BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，∴BC⊥PB，
結合AB⊥BC，可得∠PBA是二面角P-BC-A的平面角，
∵Rt△PAB中，PA=AB=2，∴∠PBA=45°，
由此可得二面角P-BC-A的大小為45°；
（3）∵AB⊥BC，AB=BC=2，∴△ABC的面積S=

1

2

×AB×BC=2，
∵PA⊥平面ABC，即PA是三棱錐P-AEF的高，
∴三棱錐P-AEF的體積V=

1

3

×S_△ABC×PA=

1

3

×2×2=

4

3

．

點評：本題在特殊三棱錐中證明面面垂直，并求二面角的大小和錐體的體積．著重考查了空間垂直位置關系的判斷與證明和錐體的體積計算等知識，屬于中檔題．