Question

如下圖所示：在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA₁＝4，點D是AB的中點．

(1)求證：AC⊥BC₁；

(2)求證：AC₁∥平面CDB₁；

(3)求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)直三棱角柱ABC－A1B1C1底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5 　　∴AC⊥BC且BC1在平面ABC內的射影為BC 　　∴AC⊥BC1 　　(2)設CB1與C1B的交點為E，連結DE 　　∵D是AB的中點，E是BC1的中點 　　∴DE∥AC1 　　DE平面CDB1，AC1平面CDB1， 　　∴AC1平面CDB1 　　(3)DE∥AC1，∴∠CED為AC1與B1C所成的角 　　在△CED中，，， 　　∴ 　　∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為．