Question

△ABC中，3sinB=sin（2A+B），4tan

A

2

=1-tan2

A

2

．
（1）求證：A+B=

π

4

；
（2）若a、b、c分別是角A、B、C的對邊，a=2，求c和△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由已知第二個等式變形求出tanA的值，由第一個等式左右兩邊變形，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，整理后將tanA的值代入求出tan（A+B）的值，即可確定出A+B的度數；
（2）由A+B的度數求出C的度數，由tanA的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理求出c的值，再由tan（A+B）及tanA的值求出tanB的值，求出sinB的值，由a，c，sinB的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：（1）證明：由4tan

A

2

=1-tan²

A

2

，得

2tan A 2

1-tan2 A 2

=

1

2

，
∴tanA=

2tan A 2

1-tan2 A 2

=

1

2

，
由3sinB=sin（2A+B），
得3sin[（A+B）-A]=sin[（A+B）+A]，
∴3sin（A+B）cosA-3cos（A+B）sinA=sin（A+B）cosA+cos（A+B）sinA，
∴2sin（A+B）cosA=4cos（A+B）sinA，
兩邊除以cos（A+B）cosA得：tan（A+B）=2tanA=2×

1

2

=1，
∴A+B=

π

4

；
（2）解：由（1）得C=

3π

4

，
∵tanA=

1

2

，sec²A=tan²A+1，cosA=

1

secA

，
∴cos²A=

1

sec2A

=

1

1+tan2A

=

1

1+ 1 4

=

4

5

，
∵sin²A+cos²A=1，
∴sinA=

1-cos2A

=

5

5

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：c=

asinC

sinA

=

10

，
由tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

1 2 +tanB

1- 1 2 tanB

=1，得tanB=

1

3

，
∴cos²B=

1

1+tan2B

=

9

10

，

sinB=

1-cos2B

=

10

10

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=1．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正切函數公式，同角三角函數間的基本關系，正弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．