Question

如圖，已知四棱錐P―ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AC⊥DB，AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)，又BO=2，PO=，PB⊥PD.

   （Ⅰ）求異面直線PD與BC所成角的余弦值；

   （Ⅱ）求二面角P―AB―C的大小；

   （Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M在棱PC上，且，問(wèn)為何值時(shí)，PC⊥平面BMD. 

 

Answer 1

解析：

以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OP分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（－1，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，）.

（1），

故直線PD與BC所成的角的余弦值為

   （2）設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，

由于

由

取的一個(gè)法向量

又二面角P―AB―C不銳角.

∴所求二面角P―AB―C的大小為45°

   （3）設(shè)三點(diǎn)共線，

                      （1）

                （2）

由（1）（2）知  

   

 故