Question

（2013•煙臺二模）已知f（x）=

1

4

x²+sin(

π

2

+x)，f′（x）為f（x）的導函數，則f′（x）的圖象是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：先化簡f（x）=

1

4

x²+sin(

π

2

+x)=

1

4

x²+cosx，再求其導數，得出導函數是奇函數，排除B，D．再根據導函數的導函數小于0的x的范圍，確定導函數（-

π

3

，

π

3

）上單調增減，從而排除C，即可得出正確答案．

解答：解：由f（x）=

1

4

x²+sin(

π

2

+x)=

1

4

x²+cosx，
∴f'（x）=

1

2

x-sinx，它是一個奇函數，其圖象關于原點對稱，故排除B，D．
又f''（x）=

1

2

-cosx，當-

π

3

＜x＜

π

3

時，cosx＞

1

2

，∴f''（x）＜0，
故函數y=f'（x）在區間（-

π

3

，

π

3

）上單調遞減；
故排除C．
故選A．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．