Question

已知實數x，y滿足

x≥1 x+y≤4 ax+by+c≤0

，且目標函數z=2x+y的最大值為6，最小值為1，其中b≠0，則

c

b

的值及a的正負分別為（　　）

• A．4，正
• B．4，負
• C．

  1

  4

  ，正
• D．

  1

  4

  ，負

Answer 1

分析：先確定ax+by+c=0一定和之前兩條直線相交構成封閉的三角形，可得a＜0，再利用目標函數z=2x+y的最大值為6，最小值為1，確定最大值點與最小值點，即可求得結論．

解答：解：z=2x+y轉化為y=-2x+z，則y最大，z也最大，y最小，z也最小，如果沒有ax+by+c≤0這個條件，則在（4，0）處去最大值8，而沒有最小值，
又由x=1與x+y=4，可得交點為（1，3），該點處的函數值為5，不滿足題意
所以ax+by+c=0一定和之前兩條直線相交構成封閉的三角形，所以a＜0．
因為目標函數z=2x+y的最大值為6，所以函數取得最大值的點為x+y=4與ax+by+c=0的交點，
由

2x+y=6 x+y=4

，可得

x=2 y=2

，所以2a+2b+c=0①；
因為目標函數z=2x+y的最小值為1，所以函數取得最大值的點為x=1與ax+by+c=0的交點，
由

2x+y=1 x=1

，可得

x=1 y=-1

，所以a-b+c=0②，
①-②×2可得：4b-c=0，∴

c

b

=4
綜上，

c

b

=4，a＜0
故選B．

點評：本題考查線性規劃知識，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．