Question

設集合A={（x，y）|

m

2

≤（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R }，若A∩B≠∅，求實數m的取值．

Answer 1

分析：首先由集合B得到其表示的點集，然后對是否為空集分類，當A不是空集時，再由m≤0或m≥

1

2

時分類，
若m≤0，則A={（x，y）|（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}表示以點（2，0）為圓心，半徑為|m|的圓面（m=0時是原點），由點（2，0）到直線x+y=2m+1的距離不大于半徑|m|求解m的范圍；若m≥

1

2

，則A={（x，y）|

m

2

≤（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}表示以點（2，0）為圓心，大圓半徑為|m|，小圓半徑為

m 2

的圓環．然后再把m由1分界，m小于等于1時顯然成立，m＞1時再由點（2，0）到直線x+y=2m的距離不大于半徑|m|列式求解m的范圍．

解答：解：∵對任意m∈R，都有2m≤2m+1，所以B≠∅，
集合B表示在直線x+y=2m與直線x+y=2m+1之間的平面區域（包含邊界）．
當

m

2

＞m²，即0＜m＜

1

2

時，A=∅，不滿足條件；
當

m

2

≤m²，即m≤0或m≥

1

2

時，A≠∅．
（1）若m≤0，則A={（x，y）|（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}表示以點（2，0）為圓心，
半徑為|m|的圓面（m=0時是原點），
A∩B≠∅等價于點（2，0）到直線x+y=2m+1的距離不大于半徑|m|，
即

|2-2m-1|

2

≤|m|，即2m²-4m+1≤0，即（m-1）²≤

1

2

，解得1-

2

2

≤m≤1+

2

2

，所以m∈∅；
（2）若m≥

1

2

，則A={（x，y）|

m

2

≤（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}表示以點（2，0）為圓心，
大圓半徑為|m|，小圓半徑為

m 2

的圓環．
當（2，0）∈B，即2m≤2≤2m+1，即

1

2

≤m≤1時，A∩B≠∅，滿足條件；
若m＞1，則A∩B≠∅等價于點（2，0）到直線x+y=2m的距離不大于半徑|m|，
即

|2-2m|

2

≤|m|，即m²-4m+2≤0，即（m-2）²≤2，解得2-

2

≤m≤2+

2

，所以1＜m≤2+

2

，滿足條件．
綜上，實數m的取值范圍是[

1

2

，2+

2

]．

點評：本題考查了集合關系中的參數取值問題，考查了分類討論的數學思想方法和數學轉化思想方法，訓練了點到直線的距離公式的應用，正確的分類是解答該題的關鍵，屬有一定難度題目．