Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中點，截面DAN交PC于M．
（Ⅰ）求PB與平面ABCD所成角的大小；
（Ⅱ）求證：PB⊥平面ADMN；
（Ⅲ）求以AD為棱，PAD與ADMN平面的銳二面角余弦值大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）取AD中點O，連接PO，BO．由于△PAD是正三角形，可得PO⊥AD．利用面面垂直的性質可得PO⊥平面ABCD，可得∠PBO為PB與平面ABCD所成的角．由已知可得PO=BO，即可得出PB與平面ABCD所成的角．
（Ⅱ）利用菱形的性質和△ABD是正三角形，可得AD⊥BO，可得AD⊥平面POB，于是得到AD⊥PB，利用等腰三角形的性質可得AN⊥PB，利用線面垂直的判定定理可得PB⊥平面ADMN．
（Ⅲ）連接ON，利用PB⊥平面ADMN，可得∠PON為所求二面角的平面角．利用△POB為等腰直角三角形，N為斜邊中點，可得PAD與ADMN平面所成銳二面角余弦值．
解答：（I）解：取AD中點O，連接PO，BO．如圖所示．
∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
∴BO為PB在平面ABCD上的射影，
∴∠PBO為PB與平面ABCD所成的角．
由已知△ABD為等邊三角形，∴PO=BO=，
∴PB與平面ABCD所成的角為45°．
（Ⅱ）證明：由菱形ABCD及∠BAD=60°可得△ABD是正三角形，∴AD⊥BO，∴AD⊥PB，
又PA=AB=2，N為PB中點，∴AN⊥PB，
∵AN∩AD=A，
∴PB⊥平面ADMN．
（Ⅲ）證明：連接ON，∵PB⊥平面ADMN，∴ON為PO在平面ADMN上的射影，
∵AD⊥PO，∴AD⊥NO，
故∠PON為所求二面角的平面角．
∵△POB為等腰直角三角形，N為斜邊中點，∴∠PON=45°
COS∠PON=，
∴面PAD與ADMN平面所成銳二面角余弦值為．
點評：本題綜合考查了線面、面面垂直的判定與性質、菱形的性質、等邊三角形的性質、線面角、二面角等基礎知識與基本能力，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．