Question

如圖，三棱錐P-ABC中，平面PBC⊥平面ABC，△PBC是邊長為a的正三角形，∠BAC=30°，AC⊥BC，M是BC的中點．
（1）求證：PB⊥AC；
（2）求證：平面PMA⊥平面ABC；
（3）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）由平面PBC⊥平面ABC且PB⊥AC，利用面面垂直的性質定理得到AC⊥平面PBC，即可證出PB⊥AC；
（2）連結PM，可得PM是正△PBC的高，得PM⊥BC，利用面面垂直的性質定理證出PM⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理即可證出平面PMA⊥平面ABC；
（3）算出Rt△ABC的邊AC、BC長，得到S_△ABC=

3

2

a2，由（2）得PM是三棱錐P-ABC的高線，利用錐體的體積公式加以計算，即可得到三棱錐P-ABC的體積．

解答：解：（1）∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，AC?平面ABC，AC⊥BC，
∴AC⊥平面PBC，
∵PB?平面PBC，∴PB⊥AC；
（2）連結PM，可得
∵M是BC的中點，△PBC是正三角形，∴PM⊥BC，
∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，∴PM⊥平面ABC，
∵PM?平面PMA，∴平面PMA⊥平面ABC；
（3）由（2）得PM⊥平面ABC，得PM是三棱錐P-ABC的高線，
∵正△PBC的邊長為a，∴PM=

3 a

2

，
∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=a，∴AC=

3

BC=

3

a，
可得△ABC的面積為S_△ABC=

1

2

×AC×BC=

3

2

a2，
因此，三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

S_△ABC×PM=

1

3

×

3

2

a2×

3 a

2

=

1

4

a3．

點評：本題給出三棱錐滿足的條件，求證面面垂直并求錐體的體積．著重考查了面面垂直的判定與性質、錐體的體積公式等知識，屬于中檔題．