Question

今年的國(guó)慶假期是實(shí)施免收小型客車高速通行費(fèi)后的第一個(gè)重大節(jié)假日，有一個(gè)群名為“天狼星”的自駕游車隊(duì)．該車隊(duì)是由31輛車身長(zhǎng)都約為5m（以5m計(jì)算）的同一車型組成的，行程中經(jīng)過(guò)一個(gè)長(zhǎng)為2725m的隧道（通過(guò)該隧道的車速不能超過(guò)25m/s），勻
速通過(guò)該隧道，設(shè)車隊(duì)的速度為xm/s，根據(jù)安全和車流的需要，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，相鄰兩車之間保持20m的距離；當(dāng)12＜x≤25時(shí)，相鄰兩車之間保持（

1

6

x2+

1

3

x）m的距離．自第1輛車車頭進(jìn)入隧道至第31輛車車尾離開隧道所用的時(shí)間為y（s）．
（1）將y表示為x的函數(shù)；
（2）求該車隊(duì)通過(guò)隧道時(shí)間y的最小值及此時(shí)車隊(duì)的速度．

Answer 1

分析：（1）利用當(dāng)0＜x≤12時(shí)，相鄰兩車之間保持20m的距離；當(dāng)12＜x≤25時(shí)，相鄰兩車之間保持（

1

6

x2+

1

3

x）m的距離，可得分段函數(shù)；
（2）分段求出函數(shù)的最小值，即可得到分段函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）∵當(dāng)0＜x≤12時(shí)，相鄰兩車之間保持20m的距離；
當(dāng)12＜x≤25時(shí)，相鄰兩車之間保持（

1

6

x2+

1

3

x）m的距離，
∴當(dāng)0＜x≤12時(shí)，y=

2725+5×31+20×(31-1)

x

=

3480

x

；
當(dāng)12＜x≤25時(shí)，y=

2725+5×31+(  1 6 x2+ 1 3 x)(31-1)

x

=5x+

2880

x

+10
∴y=

3480 x ，0＜x≤12 5x+ 2880 x +10，12＜x≤25

；
（2）當(dāng)0＜x≤12時(shí)，y=

3480

x

，∴x=12m/s時(shí)，y_min=290s；
當(dāng)12＜x≤25時(shí)，y=5x+

2880

x

+10≥2

5x• 2880 x

+10=250s
當(dāng)且僅當(dāng)5x=

2880

x

，即x=24m/s時(shí)取等號(hào)，即x=24m/s時(shí)，y_min=250s
∵290＞250，∴x=24m/s時(shí)，y_min=250s．
答：該車隊(duì)通過(guò)隧道時(shí)間y的最小值為250s及此時(shí)該車隊(duì)的速度為24m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)模型的構(gòu)建，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題．