Question

如圖：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（文科做）若E、F分別是BC、CD的中點，求異面直線CD₁與EF所成的角．
（理科做）若M、N分別為AB與CD₁的中點，求證：MN∥平面AA₁D₁．

Answer 1

分析：（文科）由題意得EF∥BD∥B₁D₁，可得直線EF與直線CD₁所成角的大小和直線B₁D₁與直線CD₁所成角的大小相等，再根據立方體的結構特征得到直線B₁D₁與直線CD₁所成角的大小為60°，進而得到答案．
（理科）連接AD₁，取AD₁的中點E，連接AE、EN，根據三角形中位線的性質，我們可得四邊形AMNE為平行四邊形，即MN∥AE，進而根據線面平行的判定定理得到MN∥平面AA₁D₁．

解答：解：（文科）因為E、F分別是BC、CD的中點，所以EF∥BD∥B₁D₁．
所以直線EF與直線CD₁所成角的大小和直線B₁D₁與直線CD₁所成角的大小相等．
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
所以直線B₁D₁與直線CD₁所成角的大小為60°，
所以直線EF與直線CD₁所成角的大小為60°．
（理科）證明：連接AD₁，取AD₁的中點E，連接AE、EN，
則有EN=

1

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AB=AM，EN∥CD∥AB∥AM，
故AMNE 是平行四邊形，
∴MN∥AE，
∵AE?平面AA₁D₁，MN?平面AA₁D₁，
∴MN∥平面AA₁D₁．

點評：本題的考點是直線與平面平行的判定，主要考查直線與平面平行的判定，熟練掌握空間直線與平面平行的判定和性質是解答本題的關鍵．求異面直線所成角的關鍵是平移直線或作其中一條直線的中位線．