Question

已知函數f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]，若f（x）的值域為（-∞，+∞），則實數a的取值范圍是

1≤a≤

5

3

．

Answer 1

分析：因為函數值域為R，討論二次項系數為0時，不成立，系數不為0時，讓系數大于0且根的判別式大于等于0求出a的范圍即可．

解答：解：設t=（a²-1）x²+（a+1）x+1，
∵f（x）∈（-∞，+∞），
∴t∈（0，+∞）
即t只要能取到（0，+∞）上的任何實數即滿足要求．由右圖
①若（a²-1）≠0，則

a2-1＞0 △=(a+1)2-4(a2-1)≥0

⇒1＜a≤

5

3

；
②若a²-1=0，則a=±1，
當a=1時，t=2x+1滿足要求
當a=-1時，t=1（不合，舍去）．       
綜上所述：1≤a≤

5

3

故答案為 1≤a≤

5

3

點評：考查學生理解對數函數定義域和值域的能力，以及理解函數恒成立條件的能力．