Question

已知橢圓過點，且離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線y=kx+m與該橢圓有兩個交點M，N，當線段MN的中點在直線x=1上時，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據焦距，求得a和b的關系，利用離心率求得a和b的另一公式聯立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）設出直線l的方程，與橢圓的方程聯立消去y，利用判別式大于0，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，根據MN的中點的橫坐標求得k和m的關系，進而回代入判別式大于0，求得k的范圍，則直線的傾斜角的范圍可得．
解答：解：（1）依題意：∴．（1分）
由，得．（2分）
∴b²=a²-c²=1．（3分）
∴所求橢圓方程為．（4分）
（2）設M，N坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
將y=kx+m代入橢圓方程，整理得：（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0（6分）
∴△=36k²m²-12（3k²+1）（m²-1）＞0（*）（8分）
要令P（1，n）為M，N中點，則x₁+x₂=2，∴∵k≠0∴（9分）
代入（*）得：（10分）
6k²-1＞0（12分）
∴或．（13分）
∴k的取值范圍是．（14分）
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系．研究直線與圓錐曲線位置關系的問題，通常有兩種方法：一是轉化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點問題（包括公共點個數、與交點坐標有關的問題）轉化為一元二次方程根的問題，結合根與系數的關系及判別式解決問題；二是運用數形結合，迅速判斷某些直線和圓錐曲線的位置關系．