Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的離心率是

3

2

，且經過點M（2，1）．直線y=

1

2

x+m (m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線MA，MB的斜率分別是k₁，k₂，求證k₁+k₂為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的離心率是

3

2

，且經過點M（2，1），可求幾何量，從而可求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線方程y=

1

2

x+m (m＜0)代入橢圓方程，利用韋達定理，結合斜率公式，化簡可得結論．

解答：（Ⅰ）解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的離心率是

3

2

，且經過點M（2，1），
∴

c a = 3 2 4 a2 + 1 b2 =1  a2=b2+c2

，

a2=8 b2=2

，
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）證明：直線方程y=

1

2

x+m (m＜0)代入橢圓方程，化簡可得x²+2mx+2m²-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4，
∴k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=0
即k₁+k₂為定值．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．