Question

已知函數f（x）=x³-ax²（a∈R）．
（Ⅰ）若f′（1）=3，
（i）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程，
（ii）求f（x）在區間[0，2]上的最大值；
（Ⅱ）若當x∈[0，2]時，f（x）+x≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數的導數，利用導數的幾何意義求切線方程，以及求函數的最值．
（Ⅱ）將不等式進行轉化，將恒成立問題轉化為求函數的大小問題．

解答：解：（Ⅰ）（i）∵f（x）=x³-ax²（a∈R），∴f'（x）=3x²-2ax，
由f'（1）=3-2a=3，解得a=0，
∴y=f（x）=x³．
∵f（1）=1，f'（x）=3x²，f'（1）=3，
∴切點（1，1），斜率為3，
∴y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=3x-2．
（ii）∵f（x）=x³，f'（x）=3x²≥0，
∴f（x）在[0，2]單調遞增，
∴f（x）最大值為f（2）=8．
（Ⅱ）∵x³-ax²+x≥0對x∈[0，2]恒成立，
∴ax²≤x³+x．
當x=0時成立．
當x∈（0，2]時a≤x+

1

x

，
∵x+

1

x

≥2，在x=1處取最小值．
∴a≤2．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的性質，考查導數的基本運算和應用，考查學生的運算能力．