Question

一個四棱錐的三視圖和直觀圖如圖所示，E為側棱PD的中點．
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）若F為側棱PA上的一點，且

PF

FA

=λ，則λ為何值時，PA⊥平面BDF？并求此時幾何體F-BDC的體積．

Answer 1

分析：（1）由三視圖可知該四棱錐底面為有一角為60°，邊長為2的菱形，高為1的棱錐，頂點在底面的射影為底面中心，連接EO，利用三角形中位線定理和線面平行的判定定理即可證明結論；
（2）考慮到PA與BD垂直，故只需過O作PA的垂線，垂足F即為所求點F，如此再利用線面垂直的判定定理證明結論，求椎體的體積關鍵是求高，可過F作FH∥PO，則FH即為所求高，最后利用椎體體積計算公式即可得結果

解答：解：（1）由圖形可知該四棱錐的底面ABCD是菱形，
且有一角為60°，邊長為2，錐體高度為1．
設AC，BD和交點為O，連OE，OE為△DPB的中位線，OE∥PB，EO?面EAC，PB?面EAC內，
∴PB∥面AEC．
（2）過O作OF⊥PA垂足為F
在Rt△POA中，PO=1，AO=

3

，PA=2，PO²=PF•PA，2PF=1
∴PF=

1

2

，FA=

3

2

，

PF

FA

=

1

3

在底面菱形中BD⊥AC，又因為PO⊥面ABCD，
所以BD⊥PO，
∴BD⊥面APO，PA?面APO
∴PA⊥BD，PA⊥OF，OF∩BD=O
所以PA⊥平面BDF
∴當λ=

1

3

時，PA⊥平面BDF
當

PF

FA

=

1

3

時，在△POA中過F作FH∥PO，則FH⊥面BCD，FH=

3

4

PO=

3

4

∴

S

△BCD

=

1

2

×2×

3

，
∴V=

1

3

S

△BCD

•FH=

1

3

×

3

4

×

3

=

3

4

．

點評：本題主要考查了空間線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，椎體體積的計算公式，由于點F為動點，故本題屬探究型題