Question

19．已知函數f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0且a≠1）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據導函數的符號，求出函數的單調區間即可；
（2）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于e-1，由單調性知，f（x）的最大值是f（1）或f（-1），最小值f（0）=1，由f（1）-f（-1）的單調性，判斷f（1）與f（-1）的大小關系，再由f（x）的最大值減去最小值f（0）大于或等于e-1求出a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=a^x+x²-xlna，
∴f′（x）=a^xlna+2x-lna=（a^x-1）lna+2x，
∵0＜a＜1或a＞1，
∴當x∈（0，+∞）時，lna與a^x-1同號，
∴f′（x）＞0，∴函數在（0，+∞）上單調遞增．
x∈（-∞，0）時，lna與a^x-1異號，
∴函數在（-∞，0）上單調遞減．
（2）∵存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，
∴當x∈[-1，1]時，|（f（x））_max-（f（x））_min|=（f（x））_max-（f（x））_min≥e-1．
∵f（x）在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，
∴當x∈[-1，1]時，（f（x））_min=f（0）=1，
（f（x））_max=max{f（-1），f（1）}，
而f（1）-f（-1）=（a+1-lna）-（$\frac{1}{a}$+1+lna），
記g（t）=t-$\frac{1}{t}$-2lnt（t＞0 ），
∵g′（t）=1+$\frac{1}{{t}^{2}}$-$\frac{2}{t}$=（$\frac{1}{t}$-1）²≥0，（當t=1時取等號），
∴g（t）=t-$\frac{1}{t}$-2lnt（t＞0 ）在t∈（0，+∞）上單調遞增，而g（1）=0，
∴當t＞1時，g（t）＞0；當0＜t＜1時，g（t）＜0．
也就是當a＞1時，f（1）＞f（-1）；當0＜a＜1時，f（1）＜f（-1）；
①當a＞1時，由f（1）-f（0）≥e-1⇒a-lna≥e-1⇒a≥e，
②當0＜a＜1時，由f（-1）-f（0）≥e-1，
可得$\frac{1}{a}$+lna≥e-1，$\frac{1}{e}$≥a＞0
綜上知，所求a的取值范圍為 （0，$\frac{1}{e}$]∪[e，+∞）．

點評 本題考查函數的零點，用導數判斷函數單調性，利用導數研究函數極值，屬于中檔題．