Question

已知直線y＝－2上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線l₁垂直于x軸，動(dòng)點(diǎn)P在l₁上，且滿足OP⊥OQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，記點(diǎn)P的軌跡為C．

(Ⅰ)求曲線C的方程；

(Ⅱ)若直線l₂是曲線C的一條切線，當(dāng)點(diǎn)(0，2)到直線l₂的距離最短時(shí)，求直線l₂的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為． 　　∵，∴．當(dāng)時(shí)，得，化簡得．　2分 　　當(dāng)時(shí)，、、三點(diǎn)共線，不符合題意，故． 　　∴曲線的方程為．　4分 　　(Ⅱ)解法1：∵直線與曲線相切，∴直線的斜率存在． 　　設(shè)直線的方程為，　5分 　　由得． 　　∵直線與曲線相切，∴，即．　6分 　　點(diǎn)到直線的距離 　　　10分 　　 　　解法3：由，得， 　　∵直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中， 　　則直線的方程為：，化簡得．　6分 　　點(diǎn)到直線的距離 　　．　10分 　　當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)． ∴直線的方程為或．　　12分