Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右頂點為A，下頂點為B，點P（$\frac{3}{4}$，0）滿足|PA|=|PB|．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）不垂直于坐標軸的直線l與橢圓C交于M，N兩點，以MN為直徑的圓過原點，且線段MN的垂直平分線過點P，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用橢圓的離心率公式和點滿足方程及a，b，c的關系，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）設直線l的方程設為y=kx+t，設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），聯立橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于0，以AB為直徑的圓過坐標原點，則有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，x₁x₂+y₁y₂=0，代入化簡整理，再由兩直線垂直的條件，解方程可得k，進而得到所求直線方程．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a²=4b²，
由|PA|=a-$\frac{3}{4}$，|PB|=$\sqrt{{b}^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$，
|PA|=|PB|．即a-$\frac{3}{4}$=$\sqrt{{b}^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$，
解得：a=2，b=1，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設直線l的方程設為y=kx+t，設M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y得（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，
則有x₁+x₂=$\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
由△＞0，可得4k²+1＞t²，
y₁+y₂=kx₁+t+kx₂+t=k（x₁+x₂）+2t=$\frac{2t}{1+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=k²•$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+kt•$\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}$+t²=$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
因為以AB為直徑的圓過坐標原點，
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即為x₁x₂+y₁y₂=0，
即為$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，可得5t²=4+4k²，①
由4k²+1＞t²，可得t＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又設AB的中點為D（m，n），則m=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-4kt}{1+4{k}^{2}}$，n=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{t}{1+4{k}^{2}}$，
因為直線PD與直線l垂直，所以k_PD=-$\frac{1}{k}$=$\frac{0-n}{\frac{3}{4}-m}$=$\frac{-\frac{t}{1+4{k}^{2}}}{\frac{3}{4}+\frac{4kt}{1+4{k}^{2}}}$，可整理得：t=-$\frac{1+4{k}^{2}}{4k}$②
解得：k²=$\frac{1}{4}$，k²=$\frac{5}{4}$，
當k=$\frac{1}{2}$時，t=-1，當k=-$\frac{1}{2}$，t=1，
當k=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，t=-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
當k=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
滿足△＞0，
所以直線l的方程為y=$\frac{1}{2}$x-1，y=-$\frac{1}{2}$x+1，y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，y=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓的離心率的運用和方程的運用，聯立直線方程，運用韋達定理，同時考查圓的性質：直徑所對的圓周角為直角，考查直線垂直的條件和直線方程的求法，屬于中檔題．