Question

如圖，已知點為橢圓右焦點，圓與橢圓的一個公共點為，且直線與圓相切于點.

（1）求的值及橢圓的標準方程；
（2）設動點滿足，其中M、N是橢圓上的點，為原點，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值.

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程以及幾何性質等基礎知識，考查學生分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，由橢圓C過點（0,1）點，所以得到，由，得，在直角三角形AFB中，利用勾股定理求參數a，c的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，設出點M，N，P的坐標，代入到中，得到與、的關系，得到與、的關系，又由于點M，N在橢圓上，代入橢圓方程中，得到關系式，都代入到所求的式子中，化簡得到定值.
試題解析：（1）由題意可知，又.又 .   2分
在中，，
故橢圓的標準方程為：            6分
（2）設
∵M、N在橢圓上，∴
又直線OM與ON的斜率之積為，∴，
于是
.故為定值.    13分