Question

多面體PABCD的直觀圖及三視圖如圖所示，E、F、G分別為PA、AD和BC的中點，M為PG上的點，且PM：MG=3；4．
（1）求多面體PABCD的體積；
（2）求證：PC∥平面BDE；
（3）求證：FM⊥平面PBC．

Answer 1

解：（1）根據幾何體的三視圖可得多面體PABCD是高為的四棱錐，平面PAD垂直于邊長等于2的正方形ABCD所在平面，△PAD是等邊三角形，
故四棱錐P-ABCD的體積V==．
（2）設AC和 BD交于點O，則O為正方形ABCD的中心，又E為PA的中點，故OE是三角形PAC的中位線，∴OE∥AC．
而OE?平面BDE，AC不在平面BDE內，∴PC∥平面BDE．
（3）連接PF、FG，則BC⊥平面PFG，∴BC⊥FM．△PFG中，PF=，FG=2，PG=．
由PM：MG=3：4可得MG=，FM=．∴FM²+MG²=FG²，∴FM⊥PG．
又PG∩BC=G，∴FM⊥平面PBC．
分析：（1）根據幾何體的三視圖可得四棱錐的高，等邊三角形PAD所在平面垂直于邊長等于2的正方形ABCD所在平面，再根據棱錐的體積公式求出結果．
（2）設AC和 BD交于點O，則O為正方形ABCD的中心，由OE是三角形PAC的中位線，OE∥AC，利用直線與平面平行的判定定理證得PC∥平面BDE．
（3）連接PF、FG，則BC⊥平面PFG，故BC⊥FM．利用勾股定理證明FM⊥PG，這樣，FM垂直于平面PBC 內的兩條相交直線PG和BC，由直線與平面垂直的判定定理證得FM⊥平面PBC．
點評：本題主要考查證明線面平行、線面垂直的方法，求棱錐的體積，直線與平面平行的判定以及直線與平面垂直的判定定理的應用，屬于中檔題．