Question

已知函數f（x）=lnx+

3

2

x2-mx
（Ⅰ）若函數f（x）圖象上任意一點處的切線的傾斜角均不小于

π

3

，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）設m=2，若存在x₀∈[1，2]，不等式|a+3x₀|-x₀f′（x₀）＜0成立，求實數a的取值范圍；
（III）已知k∈R，討論關于x的方程f（x）+mx=

4

3

(x2+x)+k在區間[2，4]上的實根個數（e≈2.71828）

Answer 1

分析：（I）先求導函數，然后將函數f（x）圖象上任意一點處的切線的傾斜角均不小于

π

3

轉化成f′（x）≥tan

π

3

=

3

在（0，+∞）上恒成立，利用參數分離法可求出m的取值范圍；
（II）根據絕對值不等式的性質化簡不等式，然后利用參數分離法將a分離，最后利用存在性問題的常用方法進行求解即可；
（III）將k分離，然后利用導數研究函數的單調性，得到函數的最值，利用數形結合法可求出根的個數．

解答：解：（I）∵f（x）=lnx+

3

2

x2-mx（x＞0）
∴f′（x）=

1

x

+3x-m
∵函數f（x）圖象上任意一點處的切線的傾斜角均不小于

π

3

，
∴f′（x）=

1

x

+3x-m≥tan

π

3

=

3

在（0，+∞）上恒成立，①或f′（x）=

1

x

+3x-m≤0在（0，+∞）上恒成立，②
對于①，不等式等價于m≤

1

x

+3x-

3

在（0，+∞）上恒成立，而

1

x

+3x-

3

在（0，+∞）上的最小值為

3

，
∴m≤

3

，
對于②，不等式等價于m≥

1

x

+3x在（0，+∞）上恒成立，
∴m不存在，
綜合①②，實數m的取值范圍為m≤

3

；
（II）當m=2時，f′（x）=

1

x

+3x-2
不等式|a+3x₀|-x₀f′（x₀）＜0即為不等式|a+3x₀|-x₀（

1

x0

+3x₀-2）＜0
化簡得不等式|a+3x₀|＜3x₀²-2x₀+1
即-3x₀²+2x₀-1＜a+3x₀＜3x₀²-2x₀+1
∴存在x₀∈[1，2]，使得不等式-3x₀²-x₀-1＜a＜3x₀²-5x₀+1成立
即（-3x₀²-x₀-1）_min＜a＜（3x₀²-5x₀+1）_max
即-15＜a＜3
（III）∵f（x）+mx=

4

3

(x2+x)+k
∴lnx+

3

2

x2=

4

3

(x2+x)+k
即k=lnx+

1

6

x²-

4

3

x
令g（x）=lnx+

1

6

x²-

4

3

x（x∈[2，4]）
則g′（x）=

1

x

+

1

3

x-

4

3

=

x2-4x+3

3x

=

(x-1)(x-3)

3x

當x∈[2，3）時，g′（x）＜0，當x∈（3，4]時，g′（x）＞0
∴函數g（x）在[2，3）上單調遞減，在（3，4）上單調遞增
則當x=3時函數g（x）取最小值g（3）=ln3-

5

2

，而g（2）=ln2-2，g（4）=ln4-

8

3

∴當k＜ln3-

5

2

或k＞ln4-

8

3

時方程f（x）+mx=

4

3

(x2+x)+k在區間[2，4]上的實根個數為0
當k=ln3-

5

2

或ln2-2＜k＜ln4-

8

3

時方程f（x）+mx=

4

3

(x2+x)+k在區間[2，4]上的實根個數為1
當ln3-

5

2

＜k≤ln2-2時方程f（x）+mx=

4

3

(x2+x)+k在區間[2，4]上的實根個數為2

點評：本題主要考查了導數的幾何意義，以及參數分離法研究恒成立和存在性問題，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．