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今有一長2米寬1米的矩形鐵皮,如圖,在四個(gè)角上分別截去一個(gè)邊長為x米的正方形后,沿虛線折起可做成一個(gè)無蓋的長方體形水箱(接口連接問題不考慮).
(Ⅰ)求水箱容積的表達(dá)式f(x),并指出函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)若要使水箱容積不大于4x3立方米的同時(shí),又使得底面積最大,求x的值.

解:(Ⅰ)由已知該長方體形水箱高為x米,底面矩形長為(2-2x)米,寬(1-2x)米.
∴該水箱容積為f(x)=(2-2x)(1-2x)x=4x3-6x2+2x.…(4分)
其中正數(shù)x滿足∴0<x<
∴所求函數(shù)f(x)定義域?yàn)閧x|0<x<}.…(6分)
(Ⅱ)由f(x)≤4x3,得x≤0或x≥,
∵定義域?yàn)閧x|0<x<},∴≤x<.…(8分)
此時(shí)的底面積為S(x)=(2-2x)(1-2x)=4x2-6x+2(x∈[)).
由S(x)=4(x-2-,…(10分)
可知S(x)在[,)上是單調(diào)減函數(shù),
∴x=
即要使水箱容積不大于4x3立方米的同時(shí),又使得底面積最大的x是.…(12分)
分析:(Ⅰ)確定長方體形水箱高為x米,底面矩形長為(2-2x)米,寬(1-2x)米,即可得到該水箱容積為f(x)=(2-2x)(1-2x)x=4x3-6x2+2x,根據(jù)長、寬、高為正數(shù),可確定所求函數(shù)f(x)定義域;
(Ⅱ)根據(jù)水箱容積不大于4x3立方米,構(gòu)建不等式,確定函數(shù)的定義域,再利用底面積為S(x)=(2-2x)(1-2x)=4x2-6x+2,結(jié)合定義域,可得結(jié)論.
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建,考查函數(shù)的最值,利用長方體的體積公式,確定函數(shù)是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

今有一長2米寬1米的矩形鐵皮,如圖,在四個(gè)角上分別截去一個(gè)邊長為x米的正方形后,沿虛線折起可做成一個(gè)無蓋的長方體形水箱(接口連接問題不考慮).
(Ⅰ)求水箱容積的表達(dá)式f(x),并指出函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)若要使水箱容積不大于4x3立方米的同時(shí),又使得底面積最大,求x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年福建省高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

本小題滿分12分)

今有一長2米寬1米的矩形鐵皮,如圖,在四個(gè)角上分別截去一個(gè)邊長為x米的正方形后,沿虛線折起可做成一個(gè)無蓋的長方體形水箱(接口連接問題不考慮).

(Ⅰ)求水箱容積的表達(dá)式,并指出函數(shù)的定義域;

(Ⅱ)若要使水箱容積不大于立方米的同時(shí),又使得底面積最大,求x的值.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

今有一長2米寬1米的矩形鐵皮,如圖,在四個(gè)角上分別截去一個(gè)邊長為x米的正方形后,沿虛線折起,做成一個(gè)無蓋的長方體形水箱(按口連接問題不考慮)。

(I)求水箱容積的表達(dá)式,并指出函數(shù)的定義域;

(II)若要使水箱容積不大于立方米的同時(shí),又使得底面積最大,求x的值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

今有一長2米寬1米的矩形鐵皮,如圖,在四個(gè)角上分別截去一個(gè)邊長為x米的正方形后,沿虛線折起,做成一個(gè)無蓋的長方體形水箱(接口連接問題不考慮).

(Ⅰ)求水箱容積的表達(dá)式f(x),并指出函數(shù)f(x)的定義域;

(Ⅱ)若要使水箱容積不大于4x3立方米的同時(shí),又使得底面積最大,求x的值.

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