Question

設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，經過點F的直線與拋物線交于A、B兩點．
（1）若p=2，求線段AF中點M的軌跡方程；
（2）若直線AB的方向向量為，當焦點為時，求△OAB的面積；
（3）若M是拋物線C準線上的點，求證：直線MA、MF、MB的斜率成等差數列．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由拋物線的方程得到其焦點坐標，設A（x，y），M（x，y），利用中點坐標公式得，最后根據拋物線方程消去參數x，y，即得線段AF中點M的軌跡方程．
（2）先利用直線AB的方向向量，求出直線的斜率，得出直線方程；再與拋物線方程聯立，求出A、B兩點之間的線段長以及點O到AB的距離，代入△ABO面積的表達式，求出△ABO面積即可．
（3）顯然直線MA、MB、MF的斜率都存在，分別設為k₁、k₂、k₃．直線AB的方程與拋物線方程聯立，結合根與系數的關系，證出k₁+k₂=2k₃即可證得k_MA、k_MF、k_MB成等差數列．
解答：解：（1）設A（x，y），M（x，y），焦點F（1，0），
則由題意，即…2分
所求的軌跡方程為4y²=4（2x-1），即y²=2x-1…4分
（2）y²=2x，，直線，…5分
由得，y²-y-1=0，…7分
，…8分
…9分
（3）顯然直線MA、MB、MF的斜率都存在，分別設為k₁、k₂、k₃．
點A、B、M的坐標為．
設直線AB：，代入拋物線得，…11分
所以，…12分
又，，
因而，
因而…14分
而2，故k₁+k₂=2k₃．…16分．
點評：本小題主要考查軌跡方程、圓錐曲線的軌跡問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、方程思想．屬于中檔題．