Question

已知一列非零向量a_n滿足:a₁=(x₁,y₁),a_n=(x_n,y_n)=(x_n-1-y_n-1,x_n-1+y_n-1)(n≥2).

(1)證明{|a_n|}是等比數列;

(2)設θ_n=〈a_n-1,a_n〉,b_n=2nθ_n-1,S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n,求S_n.

Answer 1

(1)證明:|a_n|==

=|a_n-1|(n≥2).

∴,且|a₁|=²≠0.∴{|a_n|}是公比為的等比數列.

(2)解:∵a_n-1·a_n=(x_n-1,y_n-1)·(x_n-1-y_n-1,x_n-1+y_n-1)=(x_n-1²+y_n-1²)=|a_n-1|²,

∴cos＜a_n,a_n-1＞=.

∴θ_n=＜a_n,a_n-1＞=.∴b_n=2n·-1=π-1,

即S_n=(-1)+( -1)+(-1)+…+( -1)=  (1+2+…+n)-n

=·-n= (n²+n)-n.