Question

選修4-1；幾何證明選講．
如圖，在△ABC中，∠B=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于D，點E為BC的中點，連接DE、AE，AE交⊙O于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若⊙O的直徑為2，求AD•AC的值．

Answer 1

分析：（1）要證明DE是⊙O的切線，只需要證明 EDO=90°，而已知∠B=90°，所以問題轉化為證明EDO=∠EBO=90°，根據已知可通過證明△ODE≌△OBE即可
（2）由已知容易證明△ABD∽△ACB，從而可得

AB

AC

=

AD

AB

，即AB²=AD•AC，可

解答：證明：（1）連接OD，OE
∵AO=OB，CE=EB∴OE∥AC，OE=

1

2

AC
∴∠CAB=∠EOB，∠ADO=∠DOE
∵OA=OD
∴∠CAB=∠ADO
則∠DOE=∠EOB
EDO=∠EBO=90°又∵OD=OB，OE是公共邊．
∴△ODE≌△OBE
∴EDO=∠EBO=90°
∴DE是⊙O的切線                           …（5分）
（2）連接BD，顯然BD是Rt△ABC斜邊上的高．
可得△ABD∽△ACB所以

AB

AC

=

AD

AB

，即AB²=AD•AC
所以AD•AC=4                           …（10分）

點評：本題主要考查了切線的證明：常有兩種輔助線的添加：①有半徑，常要證明垂直②有過一點與已知直線垂直的直線，需要證明該直線是半徑．