Question

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E為PC的中點，AD=CD=1，DB=2

2

，PD=3，
（1）證明PA∥平面BDE
（2）證明AC⊥平面PBD
（3）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）設AC∩BD=H，得到EH是三角形PAC的中位線，故EH∥PA，從而證明PA∥平面BDE．
（2）由PD⊥平面ABCD可得PD⊥AC，由（1）知，BD⊥AC，故AC⊥平面PBD．
（3）四棱錐P-ABCD的體積為

1

3

•(

1

2

AC•BD)•PD，代入數據進行運算．

解答：解：（1）證明：設AC∩BD=H，連接EH，在△ADC中，因為AD=CD，且DB平分∠ADC，
所以H為AC的中點，又由題設知E為PC的中點，故EH是三角形PAC的中位線，故EH∥PA，
又HE?平面BDE，PA?平面BDE，所以，PA∥平面BDE．
（2）證明：因為PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以，PD⊥AC．
由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD．
（3）四棱錐P-ABCD的體積為

1

3

•(

1

2

AC•BD)•PD=

1

3

•

1

2

•

2

•2

2•

3=2．

點評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，求棱錐的體積，推出AC垂直于BD是解題的關鍵．