Question

如圖，在△ABC中，|

AB

|=3，|

AC

|=1，l為BC的垂直平分線，l與BC交于點D，F(xiàn)為線段AD上的任意一點，且AC⊥BC，則

AF

•(

FB

+

FC

)的最大值為

3

2

．

Answer 1

分析：首先利用D為線段BC中點，證明出

FB

+

FC

=2

FD

，從而

AF

•(

FB

+

FC

)可以化簡為2|

AF

|•|

FD

|=2|

AF

|（|

AD

|-|

AF

|），然后利用直角三角形的勾股定理計算出|

AD

|=

3

，代入化簡的式子，最后利用基本不等式可以求得

AF

•(

FB

+

FC

)的最大值．

解答：解：∵D為線段BC中點
∴

DB

+

DC

=

O

⇒(

FB

-

FD

)+(

FC

-

FD

)=

O

∴

FB

+

FC

=2

FD

∴

AF

•(

FB

+

FC

)=

AF

• 2

FD

=2|

AF

|•|

FD

| cos0°
=2|

AF

|•|

FD

|=2|

AF

|（|

AD

|-|

AF

|）
∵Rt△ABC中，|

AB

|=3，|

AC

|=1，
∴|

BC

| =

32-12

=2

2

可得Rt△ADC中，|

CD

| =

1

2

|

BC

| =

2

∴|

AD

| =

( 2 )2+12

=

3

所以

AF

•(

FB

+

FC

)=2|

AF

|（

3

-|

AF

|）
∵0＜|

AF

|＜

3

∴

|AF| ( 3 - |AF| )

≤

|AF| +( 3 - |AF| )

2

=

3

2

⇒|

AF

|（

3

-|

AF

|）≤

3

4

所以當(dāng)且僅|

AF

|=

3

2

時，

AF

•(

FB

+

FC

)的最大值為

3

2

點評：本題以直角三角形中的中線為載體，考查了向量在平面幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．請同學(xué)們注意在解題的過程中用到了基本不等式求最值，要交待等號成立的條件．