Question

已知函數f（x）的圖象關于原點對稱，并且當x＞0時，f（x）=x²-2x+3，試求f（x）在R上的表達式，并畫出它的圖象，根據圖象寫出它的單調區間．

Answer 1

分析：確定函數為奇函數，設x＜0，則-x＞0，利用函數解析式，可得結論，從而可得函數的圖象，即可求得函數的單調區間．

解答：解：∵f（x）的圖象關于原點對稱，
∴f（x）是奇函數，∴f（-x）=-f（x）．
又f（x）在R上，∴f（0）=-f（0），解得f（0）=0．
設x＜0，則-x＞0，
∵當x＞0時，f（x）=x²-2x+3，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x+3=-f（x）
∴f（x）=-x²-2x-3 于是有f(x)=

x2-2x+3 0 -x2-2x-3

(x＞0) (x=0) (x＜0)

圖象如圖所示，
由圖象可知，函數的單調增區間為（-∞，-1），（1，+∞）；單調減區間為（-1，0），（0，1）．

點評：本題考查函數解析式的確定，考查數形結合的數學思想，屬于中檔題．