Question

設函數f（x）=x³﹣ax，x∈R．過圖象上一點斜率最小的切線平行于直線x+y=2．
（1）求a的值；
（2）求函數f（x）的單調區間和極值；
（3）已知當x∈（1，+∞）時，f（x）﹣kf（x﹣1）≥0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

解 ∵f（x）=x³﹣ax，x∈R，
∴f′（x）=3x²﹣a≥﹣a，
∴過圖象上一點斜率最小的切線的斜率k=﹣a，
∵過圖象上一點斜率最小的切線平行于直線x+y=2
∴﹣a=﹣1，故a=1．
（2）∵a=1∴f（x）=x³﹣x，f′（x）=3x²﹣1，
令f′（x）=3x²﹣1=0，得x=．
列表討論：

由表討論知：函數f（x）的單調增區間是 （﹣∞，）、（+∞）；
單調減區間是（，）．
極大值f（）=
極小值f（）=
（3）∵f（x）﹣kf（x﹣1）≥0，f（x）=x³﹣x，

∵x∈（1，+∞），
當1＜x＜2時，﹣2＜1+ ＜1
當x=﹣2時，1+＜+∞，
當x＞2時，1+＞1
∴k≤﹣2．