Question

在直角坐標平面上有一點列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，對一切正整數n，點P_n在函數的圖象上，且P_n的橫坐標構成以為首項，-1為公差的等差數列{x_n}．
（1）求點P_n的坐標；
（2）設拋物線列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，拋物線C_n的頂點為P_n，且過點D_n（0，n²+1）．記與拋物線C_n相切于點D_n的直線的斜率為k_n，求；
（3）設S={x|x=2x_n，n∈N*}，T={y|y=4y_n，n∈N*}，等差數列{a_n}的任一項a_n∈S∩T，其中a₁是S∩T中的最大數，-265＜a₁₀＜-125，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等差數列的通項公式可求得x_n，進而代入直線方程求得y_n，則點P的坐標可得．
（2）先設出C_n的方程，把D點代入求得a，進而對函數進行求得求得切線的斜率，即k_n的表達式，進而用裂項法求得
（3）根據兩集合的特點可知S∩T=T，進而推斷出T中最大數a₁=-17．設{a_n}公差為d，則根據a₁₀的范圍求得d的范圍，進而根據d=-12m求得d的值．則數列{a_n}的通項公式可得．
解答：解：（1）∵，
∴．
∴．
（2）∵C_n的對稱軸垂直于x軸，且頂點為P_n，
∴設C_n的方程為．
把D_n（0，n²+1）代入上式，得a=1，
∴C_n的方程為y=x²+（2n+3）x+n²+1．
∵k_n=y'|_x=0=2n+3，
∴，
∴=
=．
（3）T={y|y=-（12n+5），n∈N*}={y|y=-2（6n+1）-3，n∈N*}，
∴S∩T=T，T中最大數a₁=-17．
設{a_n}公差為d，則a₁₀=-17+9d∈（-265，-125．）由此得．
又∵a_n∈T．
∴d=-12m（m∈N*）
∴d=-24，
∴a_n=7-24n（n∈N*，n≥2）．
點評：本題主要考查了數列求和問題．考查了用裂項法求和的方法運用和對數列基礎知識的綜合運用．