Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx-2（ω＞2）的最小正周期為

2π

3

．
（1）求ω的值；
（2）若把函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

2

個單位長度，得到了函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g(x)，x∈[-

π

3

，

π

12

]的值域．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式求出函數(shù)f（x）=

2

 sin（2ωx+

π

4

 ），根據(jù)周期為

2π

3

，求出
ω的值．
（2）根據(jù)f（x）=

2

 sin（3x+

π

4

 ），可得g（x）=

2

 cos（3x+

π

4

 ），根據(jù)x的范圍求出3x+

π

4

 的范圍，
從而得到g（x）的值域．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx-2=1+sin2ωx+2cos²ωx-2=sin2ωx+cos2ωx
=

2

 sin（2ωx+

π

4

 ），
由T=

2π

ω

=

2π

3

，∴ω=

3

2

．
（2）由（1）可知，f（x）=

2

 sin（3x+

π

4

 ），故g（x）=

2

 sin[3（x-

π

2

 ）+

π

4

]=

2

 cos（3x+

π

4

 ），
∵-

π

3

≤ x  ≤

π

12

，∴-

3π

4

≤3 x +

π

4

≤

π

2

，∴-

2

2

≤cos（3x+

π

4

 ）≤1，
-1≤

2

 cos（3x+

π

4

 ）≤

2

，故函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇-1，

2

]．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的周期性、定義域、值域，求出g（x）=

2

 cos（3x+

π

4

 ），是
解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．