Question

已知關于x的方程x²-（t-2）x+t²+3t+5=0有兩個實根，

c

=

a

+t

b

，且

a

=（-1，1，3），

b

=（1，0，-2）．
（1）若|

c

|=f（t），求f（t）；
（2）問|

c

|是否能取得最大值？若能，求出實數t的值，并求出相應的向量

b

與

c

的夾角的余弦值；若不能，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設知

c

=

a

+t

b

=（-1，1，3）+（t，0，-2t）=（-1+t，1，3-2t），再由|

c

|=f（t），能求出f（t）．
（2）由|

a

| =

11

，|

b

| =

5

，

a

•

b

=-7，知|

a

+t

b

|2=|

b

 | 2t2+2(

a

•

b

)t+|

a

|  2
=5t²-14t+5=5（t-

7

5

）²-

24

5

．當t=

7

5

時，|

a

+t

b

|最小．再由關于x的方程x²-（t-2）x+t²+3t+5=0有兩個實根，解得

4

3

≤t≤4．因為

7

5

∈[

4

3

，4]，|

c

|能取得最大值．由此能求出求出相應的向量

b

與

c

的夾角的余弦值．

解答：解（1）∵

a

=（-1，1，3），

b

=（1，0，-2），
∴

c

=

a

+t

b

=（-1，1，3）+（t，0，-2t）
=（-1+t，1，3-2t），
∴f（t）=|

c

|=

(t-1)2+1+(3-2t)2

=

5t2-14t+11

．
（2）∵

a

=（-1，1，3），

b

=（1，0，-2）．
∴|

a

| =

11

，|

b

| =

5

，

a

•

b

=-7，
∴|

a

+t

b

|2=|

b

 | 2t2+2(

a

•

b

)t+|

a

|  2
=5t²-14t+5
=5（t-

7

5

）²-

24

5

∴當t=

7

5

時，|

a

+t

b

|最小，
∵關于x的方程x²-（t-2）x+t²+3t+5=0有兩個實根，
∴△=[-（t-2）]²-4（t²+3t+5）≥0，
解得

4

3

≤t≤4．
∵

7

5

∈[

4

3

，4]，
∴|

c

|能取得最大值．
當|

c

|取得最大時，

c

=

a

+t

b

=（-1，1，3）+（

7

5

，0，-

14

5

）=（

2

5

，1，

1

5

），
cos＜

b

，

c

＞=

2 5 +0+(- 2 5 )

4 25 +1+ 1 25 • 1+0+4

=0．

點評：本題考查平面向量的綜合運用，綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．