Question

設△ABC的三條邊為a，b，c，求證ab+bc+ca≤a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca）．

Answer 1

證明：∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a² +c²≥2ac，相加可得 2（a²+b²+c²）≥2ab+2bc+2ac，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca．
又因為△ABC的三條邊為a，b，c，∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b．
∴a² -ab-ac=a（a-b-c）＜0，a²＜ab+ac，同理可得，b² -＜ba+bc，c² ＜ca+cb，
相加可得 a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca）．
綜上可得 ab+bc+ca≤a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca）成立．
分析：由基本不等式可證 a²+b²+c²≥ab+bc+ca，根據a² -ab-ac=a（a-b-c）＜0，可得 a²＜ab+ac，同理可得
b² -＜ba+bc，c² ＜ca+cb，相加可得 a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca），從而證得命題．
點評：本題考查用綜合法證明不等式，基本不等式的應用，以及三角形任意兩邊之和大于第三邊，證明a²＜ab+ac，是解題
的關鍵．