Question

[理]已知函數f（x）=ax--2lnx，f（1）=0．
（1）若函數f（x）在其定義域內為單調函數，求a的取值范圍；
（2）若函數f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且a_n+1=f′（）-n²+1，已知a₁=4，求證：a_n≥2n+2．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由f（1）=0得出a，b的關系式，再求出f（x）的導數，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，根據若函數f（x）在其定義域內為單調函數得到：在（0，+∞）內f′（x）恒大于等于0或恒小于等于0．最后對a分類討論即可求出a的取值范圍．
（2）先由題意求得f′（）．對于關于自然數n的命題：a_n+1=f′（）-n²+1，常用數學歸納法證明，
解答：解：（1）因為f（1）=a-b=0，所以a=b，
所以f（x）=ax--2lnx，
所以f′（x）=a+-．
要使函數f（x）在定義域（0，+∞）內為單調函數，
則在（0，+∞）內f′（x）恒大于等于0或恒小于等于0．
當a=0時，則f′（x）=-＜0在（0，+∞）內恒成立；適合題意．
當a＞0時，要使f′（x）=a（-）²+a-≥0恒成立，則a-≥0，解得a≥1；
當a＜0時，由f′（x）=a+-＜0恒成立，適合題意．
所以a的取值范圍為（-∞，0]∪[1，+∞）．
（2）根據題意得：f′（1）=0，即a+a-2=0，得a=1，
所以f′（x）=（-1）²，
于是a_n+1=f′（）-n²+1=（a_n-n）²-n²+1
=a_n²-2na_n+1．
用數學歸納法證明如下：
當n=1時，a₁=4=2×1+2，
當n=2時，a₂=9＞2×2+2；
假設當n=k（k≥2且k∈N^*）時，不等式a_k＞2k+2成立，即a_k-2k＞2成立，
則當n=k+1時，a_k+1=a_k（a_k-2k）+1＞（2k+2）×2+1=4k+5＞2（k+1）+2，
所以當n=k+1，不等式也成立，
綜上得對所有n∈N^*時，都有a_n≥2n+2．
點評：本小題主要考查用數學歸納法證明不等式、函數單調性的應用、導數的應用等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．數學歸納法的基本形式：設P（n）是關于自然數n的命題，若：1°P（n）成立（奠基）；2°假設P（k）成立（k≥n），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n的自然數n都成立．