Question

橢圓上存在一點M，它到左焦點的距離是它到右準線距離的2倍，則橢圓離心率的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：設它到左焦點的距離是|PF₁|，則到右準線距離d，它到右焦點的距離是|PF₂|，由橢圓第二定義，求得即e的范圍，進而求得e的最小值．
解答：解：設P到直線l的距離為d，
根據橢圓的第二定義得 =e=，|PF₁|=2d，且|PF₁|+|PF₂|=2a，
則|PF₁|=2a-|PF₂|=2a-，而|PF₁|∈（a-c，a+c），
所以得到 ，由①得：++2≥0，為任意實數；
由②得：+3 -2≥0，解得 ≥或 ≤（舍去），
所以不等式的解集為：≥，即離心率e≥，又e＜1，
所以橢圓離心率的取值范圍是[，1）．
故答案為：．
點評：本題主要考查了橢圓的基本性質．屬基礎題．