Question

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切．

(1) 求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；

(2) 是否存在直線，使過點(diǎn)，并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足

？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

(1)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為(2)直線存在，其方程為

解析:

（1）如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心， ，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：，

即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線   的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，  ∴ 動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；

（2）由題可設(shè)直線的方程為，

由得   

   △，，

設(shè)，，則，，

   由，即 ，，于是，

即，，

   ，解得或（舍去），

又，  

∴ 直線存在，其方程為．