Question

（2013•寧德模擬）某種平面分形如圖所示，一級分形圖是由一點出發的三條線段，長度均為1，兩兩 夾角為120°； 二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發再生成兩條長度為原來

1

3

的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°；…；依此規律得到n級分形圖，則n級分形圖中所有線段的長度之和為．

9-9•(

2

3

)n

．

Answer 1

分析：設n級分形圖中所有線段的長度之和為a_n，先根據題意可得a₁、a₂、a₃、a₄的值，找到其中的關系，進而可得到數列的通項公式．

解答：解：設n級分形圖中所有線段的長度之和為a_n，依題意a₁=3，a₂=3+2×3×

1

3

=3+2，
a₃=3+2×3×

1

3

+2×2×3×(

1

3

)2=3+2+

4

3

，
a₄=3+2+

4

3

+

4

3

×

2

3

，
…，
它們構成一個首項為3，公比為

2

3

的等比的和，
∴a_n=

3[1-( 2 3 )n]

1- 2 3

=9-9•(

2

3

)n．
故答案為：9-9•(

2

3

)n

點評：本題主要考查歸納推理，數列通項公式的求法．數列的通項公式在數列學習中占據很重要的地位，要強化學習．